الجبر الخطي الأمثلة

$x = 3 t$ , $y = 2 - t$ , $t = 4$

خطوة 1

اطرح $3 t$ من كلا المتعادلين.

$x - 3 t = 0, y = 2 - t, t = 4$

خطوة 2

أضف $t$ إلى كلا المتعادلين.

$x - 3 t = 0, y + t = 2, t = 4$

خطوة 3

اكتب سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

خطوة 4

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 + \frac{1}{3} & 1 - 0 & 2 - 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 & 2 \\ 1 - 1 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 4 - 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 & 2 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $3$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $3$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 3 & 4 - \frac{1}{3} \cdot 6 \end{array}]$

خطوة 4.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{array}]$

خطوة 4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 4.6.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

خطوة 4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 6 - 3 \cdot - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

خطوة 4.7.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

خطوة 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 12 \\ 0 & 1 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

خطوة 4.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

خطوة 5

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحلول النهائية لسلسلة المعادلات.

$t = 4$

$x = 12$

$y = - 2$

خطوة 6

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(4, 12, - 2)$

خطوة 7

حلّل متجه الحل بإعادة ترتيب كل معادلة ممثلة بالصيغة المختزلة صفيًا للمصفوفة الموسّعة من خلال إيجاد المتغير غير المستقل في كل صف ينتج عنه تساوي المتجه.

$X = [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 12 \\ - 2 \end{array}]$